WAS IST FEM (Finite Element Methode)?

Die FEM ist ein mathematisches Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen. Mit Differentialgleichungen kann das Verhalten von Strukturen beschrieben werden.

So liefert zum Beispiel die Lösung der Gleichungen der Elastizitätstheorie das Verhalten, das heißt die Verformungen und die Spannungen, von Festkörpern unter äußeren Belastungen.

Die Laplace-Gleichung ermöglicht die Beschreibung von Temperaturfeldern. Die Lösung der sogenannten Navier-Stokes-Gleichungen gibt uns Einblick in das Strömungsverhalten eines Fluids und die Maxwell-Gleichungen sind eine mathematische Darstellung für Magnetfelder.

Die Lösung der Differentialgleichungen ist für einfache Geometrien und Aufgabenstellungen analytisch möglich, nicht aber für komplexe, diskontinuierliche Systeme, wie sie in der Praxis auftreten. Hierfür sind numerische Näherungsverfahren besser geeignet. Ein Verfahren hat sich als besonders mächtig erwiesen: die Finite-Element-Methode.

Die FEM wurde in den 60er Jahren von Argyris (Stuttgart und London) und unabhängig davon von Clough (Berkeley) entwickelt. Erste Ansätze gehen weiter zurück, auf die Mathematiker Ritz und Courant. Ihre Idee war es, durch einfache Ansatzfunktionen mit noch unbekannten Parametern für Teilgebiete (Elemente) das Gesamtverhalten von komplexen Bauteilen zu beschreiben. Damit wird die Lösung der Differentialgleichung auf die Lösung eines algebraischen Gleichungssystems für die unbekannten Parameter übergeführt.

Die unbekannten Parameter, die es zu bestimmen gilt, sind je nach Problemstellung Verschiebungen, Temperaturen oder magnetische Potentiale. Die Gleichungssysteme können für komplexe Bauteile sehr umfangreich sein, die Größe spannt sich von einigen tausend Unbekannten bis in Sonderfällen zu einer Million und mehr. Es ist deshalb nicht verwunderlich, daß die FEM sich nur deshalb so weit entwickeln konnte, weil gleichzeitig entsprechende Rechner verfügbar waren.

In den 70er Jahren wurden FE-Berechnungen nur in großen Firmen oder Rechenzentren von Spezialisten durchgeführt. Die Programme liefen auf riesigen Rechnern, sogenannten Mainframes, die sich nur wenige leisten konnten. Als Ergebnisse wurden tausende von Computerseiten ausgedruckt, die durchforstet werden mußten. Für solche Berechnungen waren Budgets von DM 300'000 pro Jahr keine Seltenheit.

Heute stehen Workstations und leistungsfähige PCs zur Verfügung, auf denen weit größere Modelle bearbeitet werden können und die Modelle können in kurzer Zeit mit grafischen Hilfsmitteln aufbereitet und ausgewertet werden und dies bei einem Zehntelt des Budgets. Der Aufwand für die Modellierung erfordert immer noch den größten Aufwand. Es wird deshalb versucht, bereits von CAD-Systemen erstellte Geometriedaten zu übernehmen.

Mit der FEM können heute eine Vielzahl von Fragestellungen in der Statik und Dynamik, bezüglich Temperaturfeld und elektromagnetischen Feldern, von strömungsmechanischen Aufgaben, Akustik oder auch gekoppelten Feldern, wie sie in der Piezoelektrizität auftreten, beantwortet werden.

Denken wir an eine Brücke: wird sie ihr Eigengewicht aushalten (statische Belastung), aber auch Windböen oder Erdbeben (dynamische, zeitabhängige Belastungen)?

Bei einem Bügeleisen interessiert uns die Temperaturverteilung der Sohle, sie soll möglichst gleichmäßig warm aber nicht zu heiß sein und wir wollen vielleicht wissen, wie lange es dauert, bis sie sich aufheizt oder wieder abkühlt.

Bei Hubmagneten interessieren die Kräfte, die durch Magnetfelder erzeugt werden. Sie sind dort am größten, wo die Magnetfelddlinien gehäuft auftreten.

Frage: wie wirkt sich eine erforderliche Konstruktionsänderung aus? Bei der Entwicklung von Mikropumpen interessieren die Strömungsverhältnisse. Die Meßtechnik scheidet hier ganz aus, weil die Abmessungen der Struktur einfach zu klein sind.

Die FEM ist heute ein mächtiges Werkzeug, das zu akzeptablen Preisen erhältlich ist. Die Einarbeitungszeit ist wesentlich kürzer, weil die Handhabung der Programme sich stark vereinfacht hat. FEM ist heute einfacher anzuwenden, aber ein grundlegendes Verständnis über die Eigenschaften und Grenzen und Möglichkeiten der FEM ist nach wie vor nötig. Vielleicht ist sie sogar nötiger als früher.

Und noch eine Bemerkung: Die FEM ersetzt Ingenieurwissen nicht. Sie ist nur ein zusätzliches Hilfsmittel. Und dieses Hilfsmittel ist gerade dann besonders erfolgreich, wenn es von gut ausgebildeten Ingenieuren mit reichem Erfahrungswissen eingesetzt wird.

"Die Herstellkosten eines Produktes werden bereits zu 75% in der Konstruktion festgelegt," sagt Prof. Grabowski (Computerwoche 30.04.82). Mehr als 25% der Entwicklungszeit wird zur Erstellung von Prototypen aufgewendet und bei 60% der Prototypen beträgt die Fertigungszeit mehrere Monate, stellt Prof. Bullinger in TECHNICA 22/95 fest.

In der Produktentwicklung steckt demnach ein gewaltiges Potential zur Steigerung der Wettbewerbsfähigkeit. Dieses Potential können wir nutzen, wenn wir anstelle tayloristischer Organisationsformen fachübergreifende Entwicklungsteams setzen und entwurfsbegleitend und durchgängig rechnerische Simulationsmethoden wie z.B. die FEM (Finite-Element-Methode) einsetzen.

Mit FEM können Konstruktionen bereits im Entwurfsstadium am Bildschirm untersucht und optimiert werden, das heißt bevor sie physikalisch existieren. Damit kann die Anzahl teurer Prototypen eingespart und die Entwicklungszeit reduziert werden. FEM verhilft auch zur Einsparung von Ressourcen, zu höherer Qualität und zu innovativen Entwürfen.

Gerade bei Neuentwicklungen spielt die Simulation eine wachsende Rolle.

FEM ist nicht nur in Automobilfirmen, im Flugzeugbau, im Maschinenbau oder im Bauwesen ein nützliches Werkzeug. Es kann in allen Industriezweigen in Entwicklung, Konstruktion und Forschung angewandt werden, so z.B. in der Freizeitindustrie.